Завдання № 9 ДР-4 [8М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 39)

Тема: Числові послідовності

За яких значень $x$ числа $x+1$, $x-1$ і $3x+1$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язок:

Якщо числа $x+1$, $x-1$ і $3x+1$ є послідовними членами геометричної прогресії, то за властивістю геометричної прогресії квадрат середнього з них дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів: $b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}$. Маємо рівняння:

$(x-1)^{2}=(x+1)(3x+1);$

$x^{2}-2x+1=3x^{2}+x+3x+1;$

$3x^{2}+4x+1-x^{2}+2x-1=0;$

$2x^{2}+6x=0;$

$2x(x+3)=0;$

$x=0$ або $x=-3$.

Знайдемо ці числа для кожного значення $x$ і перевіримо, що всі вони відмінні від нуля (члени геометричної прогресії не можуть дорівнювати нулю):

1) якщо $x=0$, то $x+1=1$, $x-1=-1$, $3x+1=1$; маємо геометричну прогресію $1$; $-1$; $1$ зі знаменником $q=-1$;

2) якщо $x=-3$, то $x+1=-2$, $x-1=-4$, $3x+1=-8$; маємо геометричну прогресію $-2$; $-4$; $-8$ зі знаменником $q=2$.

Відповідь:

якщо $x=0$, то $1$; $-1$; $1$; якщо $x=-3$, то $-2$; $-4$; $-8$.