Завдання № 9 ДР-4 [8М] Варіант 3

Діагностична робота (сторінка 40)

Тема: Числові послідовності

За яких значень $x$ числа $x-1$, $x+1$ і $5x-1$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язок:

Якщо числа $x-1$, $x+1$ і $5x-1$ є послідовними членами геометричної прогресії, то за властивістю геометричної прогресії квадрат середнього з них дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів: $b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}$. Маємо рівняння:

$(x+1)^{2}=(x-1)(5x-1);$

$x^{2}+2x+1=5x^{2}-x-5x+1;$

$5x^{2}-6x+1-x^{2}-2x-1=0;$

$4x^{2}-8x=0;$

$4x(x-2)=0;$

$x=0$ або $x=2$.

Знайдемо ці числа для кожного значення $x$ і перевіримо, що всі вони відмінні від нуля (члени геометричної прогресії не можуть дорівнювати нулю):

1) якщо $x=0$, то $x-1=-1$, $x+1=1$, $5x-1=-1$; маємо геометричну прогресію $-1$; $1$; $-1$ зі знаменником $q=-1$;

2) якщо $x=2$, то $x-1=1$, $x+1=3$, $5x-1=9$; маємо геометричну прогресію $1$; $3$; $9$ зі знаменником $q=3$.

Відповідь:

якщо $x=0$, то $-1$; $1$; $-1$; якщо $x=2$, то $1$; $3$; $9$.