Завдання № 9 ДР-4 [8М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 41)

Тема: Числові послідовності

За яких значень $x$ числа $x+1$, $x-1$ і $5x+1$ є послідовними членами геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Розв’язок:

Якщо числа $x+1$, $x-1$ і $5x+1$ є послідовними членами геометричної прогресії, то за властивістю геометричної прогресії квадрат середнього з них дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів: $b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}$. Маємо рівняння:

$(x-1)^{2}=(x+1)(5x+1);$

$x^{2}-2x+1=5x^{2}+x+5x+1;$

$5x^{2}+6x+1-x^{2}+2x-1=0;$

$4x^{2}+8x=0;$

$4x(x+2)=0;$

$x=0$ або $x=-2$.

Знайдемо ці числа для кожного значення $x$ і перевіримо, що всі вони відмінні від нуля (члени геометричної прогресії не можуть дорівнювати нулю):

1) якщо $x=0$, то $x+1=1$, $x-1=-1$, $5x+1=1$; маємо геометричну прогресію $1$; $-1$; $1$ зі знаменником $q=-1$;

2) якщо $x=-2$, то $x+1=-1$, $x-1=-3$, $5x+1=-9$; маємо геометричну прогресію $-1$; $-3$; $-9$ зі знаменником $q=3$.

Відповідь:

якщо $x=0$, то $1$; $-1$; $1$; якщо $x=-2$, то $-1$; $-3$; $-9$.