Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 44)

Тема: Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

У кошику $5$ зелених, кілька жовтих і кілька червоних яблук. Скільки жовтих яблук у кошику та скільки червоних, якщо ймовірність навмання витягнути жовте яблуко дорівнює $0{,}3$, а червоне — $0{,}2$?

Розв’язок:

Нехай у кошику $x$ жовтих і $y$ червоних яблук. Тоді кількість усіх можливих випадків (усіх яблук у кошику) $n=5+x+y$. Події «витягнуто жовте яблуко» сприяють $m=x$ випадків, а події «витягнуто червоне яблуко» — $m=y$ випадків.

За класичним означенням ймовірності $p=\frac{m}{n}$ маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} \frac{x}{5+x+y}=0{,}3, \\ \frac{y}{5+x+y}=0{,}2. \end{cases}$

Знаменник $5+x+y>0$, тому помножимо обидві частини кожного рівняння на $10(5+x+y)$:

$\begin{cases} 10x=3(5+x+y), \\ 10y=2(5+x+y); \end{cases}$

$\begin{cases} 10x=15+3x+3y, \\ 10y=10+2x+2y; \end{cases}$

$\begin{cases} 7x-3y=15, \\ 8y-2x=10 \mid \ :2; \end{cases}$

$\begin{cases} 7x-3y=15, \\ 4y-x=5; \end{cases}$

$\begin{cases} 7x-3y=15, \\ x=4y-5; \end{cases}$

$\begin{cases} 7(4y-5)-3y=15, \\ x=4y-5; \end{cases}$

$\begin{cases} 28y-35-3y=15, \\ x=4y-5; \end{cases}$

$\begin{cases} 25y=50, \\ x=4y-5; \end{cases}$

$\begin{cases} y=2, \\ x=3. \end{cases}$

Перевірка: усього яблук $5+3+2=10$; $\frac{3}{10}=0{,}3$; $\frac{2}{10}=0{,}2$.

Відповідь:

жовтих яблук — $3$, червоних — $2$.