Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 45)

Тема: Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

У шухляді лежить $10$ синіх ручок, кілька чорних та кілька зелених. Відомо, що ймовірність навмання витягнути із шухляди чорну ручку дорівнює $0{,}2$, а зелену — $0{,}3$. Скільки в шухляді чорних ручок та скільки зелених?

Розв’язок:

Нехай у шухляді $x$ чорних і $y$ зелених ручок. Тоді кількість усіх можливих випадків (усіх ручок у шухляді) $n=10+x+y$. Події «витягнуто чорну ручку» сприяють $m=x$ випадків, а події «витягнуто зелену ручку» — $m=y$ випадків.

За класичним означенням ймовірності $p=\frac{m}{n}$ маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} \frac{x}{10+x+y}=0{,}2, \\ \frac{y}{10+x+y}=0{,}3. \end{cases}$

Знаменник $10+x+y>0$, тому помножимо обидві частини кожного рівняння на $10(10+x+y)$:

$\begin{cases} 10x=2(10+x+y), \\ 10y=3(10+x+y); \end{cases}$

$\begin{cases} 10x=20+2x+2y, \\ 10y=30+3x+3y; \end{cases}$

$\begin{cases} 8x-2y=20 \mid \ :2, \\ 7y-3x=30; \end{cases}$

$\begin{cases} 4x-y=10, \\ 7y-3x=30; \end{cases}$

$\begin{cases} y=4x-10, \\ 7y-3x=30; \end{cases}$

$\begin{cases} y=4x-10, \\ 7(4x-10)-3x=30; \end{cases}$

$\begin{cases} y=4x-10, \\ 28x-70-3x=30; \end{cases}$

$\begin{cases} y=4x-10, \\ 25x=100; \end{cases}$

$\begin{cases} y=6, \\ x=4. \end{cases}$

Перевірка: усього ручок $10+4+6=20$; $\frac{4}{20}=0{,}2$; $\frac{6}{20}=0{,}3$.

Відповідь:

чорних ручок — $4$, зелених — $6$.