Завдання № 9 ДР-5 [10М] Варіант 3

Діагностична робота (сторінка 46)

Тема: Основи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики

У коробці $8$ новорічних кульок жовтого кольору, кілька червоного й кілька синього. Відомо, що ймовірність витягнути з коробки навмання кульку червоного кольору дорівнює $0{,}5$, а синього — $0{,}1$. Скільки в коробці кульок червоного кольору та скільки синього?

Розв’язок:

Нехай у коробці $x$ червоних і $y$ синіх кульок. Тоді кількість усіх можливих випадків (усіх кульок у коробці) $n=8+x+y$. Події «витягнуто червону кульку» сприяють $m=x$ випадків, а події «витягнуто синю кульку» — $m=y$ випадків.

За класичним означенням ймовірності $p=\frac{m}{n}$ маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} \frac{x}{8+x+y}=0{,}5, \\ \frac{y}{8+x+y}=0{,}1. \end{cases}$

Знаменник $8+x+y>0$, тому помножимо обидві частини кожного рівняння на $10(8+x+y)$:

$\begin{cases} 10x=5(8+x+y), \\ 10y=8+x+y; \end{cases}$

$\begin{cases} 10x=40+5x+5y, \\ 10y=8+x+y; \end{cases}$

$\begin{cases} 5x-5y=40 \mid \ :5, \\ 9y-x=8; \end{cases}$

$\begin{cases} x-y=8, \\ 9y-x=8; \end{cases}$

$\begin{cases} x=y+8, \\ 9y-x=8; \end{cases}$

$\begin{cases} x=y+8, \\ 9y-(y+8)=8; \end{cases}$

$\begin{cases} x=y+8, \\ 8y=16; \end{cases}$

$\begin{cases} x=10, \\ y=2. \end{cases}$

Перевірка: усього кульок $8+10+2=20$; $\frac{10}{20}=0{,}5$; $\frac{2}{20}=0{,}1$.

Відповідь:

кульок червоного кольору — $10$, синього — $2$.