Завдання № 9 Комплексна КР з математики Варіант 3

Комплексна контрольна робота за курс 9 класу з математики (інтегрований курс) (сторінка 60)

Доведіть, що нерівність $x^{2}+y^{2}-2(2x-y)+5\geq0$ справджується за будь-яких значень змінних.

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

$x^{2}+y^{2}-2(2x-y)+5=$

$=x^{2}-4x+y^{2}+2y+5.$

Виділимо квадрати двочленів:

$x^{2}-4x+y^{2}+2y+5=$

$=(x^{2}-4x+4)-4+(y^{2}+2y+1)-1+5=$

$=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}.$

Для будь-яких значень $x$ та $y$: $(x-2)^{2}\geq0$ і $(y+1)^{2}\geq0$.

Тому $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}\geq0$.

Отже, $x^{2}+y^{2}-2(2x-y)+5\geq0$ за будь-яких значень змінних.

Що й треба було довести.