Завдання № 7 КР за I семестр Варіант 1

Контрольна робота за I семестр (сторінка 26)

Побудуйте схематично графік функції $y=-x^{2}+4x-5$ і вкажіть область значень цієї функції.

А. $(-\infty;-1)$; Б. $(-\infty;-1\rbrack$; В. $(-\infty;1\rbrack$; Г. $\lbrack-1;+\infty)$.

Пояснення:

Графіком функції $y=-x^{2}+4x-5$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз, бо $a=-1<0$. Знайдемо координати її вершини:

$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2;$

$y_{\text{в}}=y(2)=-2^{2}+4\cdot2-5=$

$=-4+8-5=-1.$

Отже, точка $(2;-1)$ — вершина параболи, а пряма $x=2$ — її вісь симетрії.

Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=2$:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-5$	$-2$	$-1$	$-2$	$-5$

Позначимо вершину параболи і точки з таблиці на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією:

Гілки параболи спрямовані вниз, тому найбільше значення функції дорівнює ординаті вершини, тобто $-1$, а найменшого значення функція не має. Отже, область значень функції — проміжок $(-\infty;-1\rbrack$.

Варіант А. $(-\infty;-1)$ не містить числа $-1$, хоча функція набуває цього значення у вершині параболи; варіант Г. $\lbrack-1;+\infty)$ був би областю значень, якби гілки параболи були спрямовані вгору.

Відповідь:

✅ Б. $(-\infty;-1\rbrack$.