Завдання № 4 С-1 [3М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 8)

Тема: Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей

Доведіть, що $\frac{9a}{5b}+\frac{5b}{a}\geq6$, якщо $a$ і $b$ — числа однакового знака.

Розв’язок:

Оскільки $a$ і $b$ — числа однакового знака, то $ab>0$, а отже, $5ab>0$.

Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності:

$\frac{9a}{5b}+\frac{5b}{a}-6=\frac{9a\cdot a+5b\cdot5b-6\cdot5ab}{5ab}=\frac{9a^{2}-30ab+25b^{2}}{5ab}=\frac{(3a-5b)^{2}}{5ab}.$

Чисельник $(3a-5b)^{2}\geq0$ як квадрат виразу, а знаменник $5ab>0$. Тому

$\frac{(3a-5b)^{2}}{5ab}\geq0$, тобто $\frac{9a}{5b}+\frac{5b}{a}-6\geq0$.

Звідси $\frac{9a}{5b}+\frac{5b}{a}\geq6$.

Рівність досягається тоді, коли $3a=5b$.

Що й треба було довести.