Завдання № 4 С-1 [3М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 8)

Тема: Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей

Доведіть, що $\frac{25x}{7y}+\frac{7y}{x}\geq10$, якщо $x$ та $y$ — числа однакового знака.

Розв’язок:

Оскільки $x$ і $y$ — числа однакового знака, то $xy>0$, а отже, $7xy>0$.

Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності:

$\frac{25x}{7y}+\frac{7y}{x}-10=\frac{25x\cdot x+7y\cdot7y-10\cdot7xy}{7xy}=\frac{25x^{2}-70xy+49y^{2}}{7xy}=\frac{(5x-7y)^{2}}{7xy}.$

Чисельник $(5x-7y)^{2}\geq0$ як квадрат виразу, а знаменник $7xy>0$. Тому

$\frac{(5x-7y)^{2}}{7xy}\geq0$, тобто $\frac{25x}{7y}+\frac{7y}{x}-10\geq0$.

Звідси $\frac{25x}{7y}+\frac{7y}{x}\geq10$.

Рівність досягається тоді, коли $5x=7y$.

Що й треба було довести.