Завдання № 4 С-1 [3М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 9)

Тема: Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей

Доведіть, що $\frac{5y}{x}+\frac{16x}{5y}\geq8$, якщо $x$ та $y$ — числа однакового знака.

Оскільки $x$ і $y$ — числа однакового знака, то $xy>0$, а отже, $5xy>0$.

Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності:

$\frac{5y}{x}+\frac{16x}{5y}-8=\frac{5y\cdot5y+16x\cdot x-8\cdot5xy}{5xy}=$

$=\frac{25y^{2}-40xy+16x^{2}}{5xy}=\frac{(5y-4x)^{2}}{5xy}.$

Чисельник $(5y-4x)^{2}\geq0$ як квадрат виразу, а знаменник $5xy>0$. Тому

$\frac{(5y-4x)^{2}}{5xy}\geq0$, тобто $\frac{5y}{x}+\frac{16x}{5y}-8\geq0$.

Звідси $\frac{5y}{x}+\frac{16x}{5y}\geq8$.

Рівність досягається тоді, коли $5y=4x$.

Що й треба було довести.