Завдання № 4 С-1 [3М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 9)

Тема: Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей

Доведіть, що $\frac{36c}{5m}+\frac{5m}{c}\geq12$, якщо $c$ та $m$ — числа однакового знака.

Розв’язок:

Оскільки $c$ і $m$ — числа однакового знака, то $cm>0$, а отже, $5cm>0$.

Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності:

$\frac{36c}{5m}+\frac{5m}{c}-12=$

$=\frac{36c\cdot c+5m\cdot5m-12\cdot5cm}{5cm}=$

$=\frac{36c^{2}-60cm+25m^{2}}{5cm}=\frac{(6c-5m)^{2}}{5cm}.$

Чисельник $(6c-5m)^{2}\geq0$ як квадрат виразу, а знаменник $5cm>0$. Тому

$\frac{(6c-5m)^{2}}{5cm}\geq0$, тобто $\frac{36c}{5m}+\frac{5m}{c}-12\geq0$.

Звідси $\frac{36c}{5m}+\frac{5m}{c}\geq12$.

Рівність досягається тоді, коли $6c=5m$.

Що й треба було довести.