Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 10)

Тема: Почленне додавання і множення нерівностей. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Числові проміжки

Доведіть нерівність $(xy+9)(x+y)\geq12xy$, якщо $x\geq0$, $y\geq0$.

Розв’язок:

Оскільки $x\geq0$ і $y\geq0$, то $xy\geq0$. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (нерівність Коші). Матимемо:

$\frac{xy+9}{2}\geq\sqrt{xy\cdot9}$ і $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$.

Обидві частини кожної із цих нерівностей помножимо на $2$ і врахуємо, що $\sqrt{xy\cdot9}=3\sqrt{xy}$:

$xy+9\geq6\sqrt{xy}$ і $x+y\geq2\sqrt{xy}$.

Обидві частини кожної з отриманих нерівностей невід’ємні, тому ці нерівності можна почленно перемножити:

$\times\binom{xy+9\geq6\sqrt{xy}}{x+y\geq2\sqrt{xy}}$

$\overline{(xy+9)(x+y)\geq6\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{xy}}$

Оскільки $6\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{xy}=12(\sqrt{xy})^{2}=12xy$, то $(xy+9)(x+y)\geq12xy$.

Що й треба було довести.