Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 10)

Тема: Почленне додавання і множення нерівностей. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Числові проміжки

Доведіть нерівність $(a+b)(4+ab)\geq8ab$, якщо $a\geq0$, $b\geq0$.

Розв’язок:

Оскільки $a\geq0$ і $b\geq0$, то $ab\geq0$. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (нерівність Коші). Матимемо:

$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ і $\frac{4+ab}{2}\geq\sqrt{4\cdot ab}$.

Обидві частини кожної із цих нерівностей помножимо на $2$ і врахуємо, що $\sqrt{4\cdot ab}=2\sqrt{ab}$:

$a+b\geq2\sqrt{ab}$ і $4+ab\geq4\sqrt{ab}$.

Обидві частини кожної з отриманих нерівностей невід’ємні, тому ці нерівності можна почленно перемножити:

$\times\binom{a+b\geq2\sqrt{ab}}{4+ab\geq4\sqrt{ab}}$

$\overline{(a+b)(4+ab)\geq2\sqrt{ab}\cdot4\sqrt{ab}}$

Оскільки $2\sqrt{ab}\cdot4\sqrt{ab}=8(\sqrt{ab})^{2}=8ab$, то $(a+b)(4+ab)\geq8ab$.

Що й треба було довести.