Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Почленне додавання і множення нерівностей. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Числові проміжки

Доведіть нерівність $(25+ab)(a+b)\geq20ab$, якщо $a\geq0$, $b\geq0$.

Розв’язок:

Оскільки $a\geq0$ і $b\geq0$, то $ab\geq0$. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (нерівність Коші). Матимемо:

$\frac{25+ab}{2}\geq\sqrt{25\cdot ab}$ і $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$.

Обидві частини кожної із цих нерівностей помножимо на $2$ і врахуємо, що $\sqrt{25\cdot ab}=5\sqrt{ab}$:

$25+ab\geq10\sqrt{ab}$ і $a+b\geq2\sqrt{ab}$.

Обидві частини кожної з отриманих нерівностей невід’ємні, тому ці нерівності можна почленно перемножити:

$\times\binom{25+ab\geq10\sqrt{ab}}{a+b\geq2\sqrt{ab}}$

$\overline{(25+ab)(a+b)\geq10\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}}$

Оскільки $10\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}=20(\sqrt{ab})^{2}=20ab$, то $(25+ab)(a+b)\geq20ab$.

Що й треба було довести.