Завдання № 4 С-2 [4М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Почленне додавання і множення нерівностей. Нерівності зі змінними. Розв’язок нерівності. Числові проміжки

Доведіть нерівність $(x+y)(36+xy)\geq24xy$, якщо $x\geq0$, $y\geq0$.

Розв’язок:

Оскільки $x\geq0$ і $y\geq0$, то $xy\geq0$. Застосуємо до кожного множника лівої частини нерівності нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним (нерівність Коші). Матимемо:

$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ і $\frac{36+xy}{2}\geq\sqrt{36\cdot xy}$.

Обидві частини кожної із цих нерівностей помножимо на $2$ і врахуємо, що $\sqrt{36\cdot xy}=6\sqrt{xy}$:

$x+y\geq2\sqrt{xy}$ і $36+xy\geq12\sqrt{xy}$.

Обидві частини кожної з отриманих нерівностей невід’ємні, тому ці нерівності можна почленно перемножити:

$\times\binom{x+y\geq2\sqrt{xy}}{36+xy\geq12\sqrt{xy}}$

$\overline{(x+y)(36+xy)\geq2\sqrt{xy}\cdot12\sqrt{xy}}$

Оскільки $2\sqrt{xy}\cdot12\sqrt{xy}=24(\sqrt{xy})^{2}=24xy$, то $(x+y)(36+xy)\geq24xy$.

Що й треба було довести.