Завдання № 2 С-5 [9М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 21)

Тема: Перетворення графіків функцій. Квадратична функція, її графік і властивості

Визначте напрям гілок, знайдіть координати вершини і побудуйте схематично графік функції $y=-x^{2}+2x$. Знайдіть область значень цієї функції.

Розв’язок:

Графіком функції $y=-x^{2}+2x$ є парабола. Оскільки $a=-1<0$, гілки параболи спрямовані вниз.

Знайдемо координати вершини параболи:

$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1;$

$y_{\text{в}}=-1^{2}+2\cdot1=-1+2=1.$

Отже, точка $(1;1)$ — вершина параболи. Тоді пряма $x=1$ є віссю симетрії параболи.

Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-3$	$0$	$1$	$0$	$-3$

Позначимо вершину параболи і точки з таблиці на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією (пунктиром показано вісь симетрії $x=1$):

Гілки параболи спрямовані вниз, тому найбільше значення функції дорівнює ординаті вершини, тобто $1$, а найменшого значення функція не має. Отже, область значень функції — проміжок $(-\infty;1\rbrack$.

Відповідь:

Гілки спрямовані вниз; вершина $(1;1)$; область значень — $(-\infty;1\rbrack$.