Завдання № 4 С-6 [12М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 28)

Тема: Квадратна нерівність. Система двох рівнянь з двома змінними. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель прикладної задачі

Знайдіть усі цілі розв’язки системи $\begin{cases} x^{2}-5x+4>0, \\-1\leq x\leq7. \end{cases}$

Розв’язок:

Розв’яжемо першу нерівність системи $x^{2}-5x+4>0$.

1) Знайдемо корені квадратного тричлена $x^{2}-5x+4$:

$x^{2}-5x+4=0;$

$D=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9;$

$x_{1}=\frac{5-3}{2}=1$, $x_{2}=\frac{5+3}{2}=4$.

2) Знак нерівності строгий, тому корені $1$ і $4$ позначаємо на осі $x$ «виколотими» точками.

3) Схематично зображуємо графік функції $y=x^{2}-5x+4$ — параболу, гілки якої спрямовані вгору:

4) Функція набуває додатних значень, коли $x \in (-\infty;1) \cup (4;+\infty)$.

Друга нерівність системи $-1\leq x\leq7$ задає проміжок $\lbrack-1;7\rbrack$.

Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків обох нерівностей системи:

Множиною розв’язків системи є перетин цих множин: $\lbrack-1;1) \cup (4;7\rbrack$.

Цілі числа, що належать цій множині: $-1$, $0$, $5$, $6$, $7$.

Відповідь:

$-1$, $0$, $5$, $6$, $7$.