Завдання № 3 С-6 [12М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 28)

Тема: Квадратна нерівність. Система двох рівнянь з двома змінними. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель прикладної задачі

Сума двох натуральних чисел дорівнює $14$, а різниця взаємно обернених з ними чисел дорівнює $\frac{1}{24}$. Знайдіть ці числа.

Розв’язок:

Нехай $x$ — менше з шуканих чисел, а $y$ — більше. Тоді $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$, і різниця взаємно обернених з ними чисел дорівнює $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$. Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} x+y=14, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{24}. \end{cases}$

Розв’яжемо систему способом підстановки. З першого рівняння $y=14-x$:

$\begin{cases} y=14-x, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{14-x}=\frac{1}{24}. \end{cases}$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $24x(14-x)$, де $x\neq0$ і $x\neq14$:

$24(14-x)-24x=x(14-x);$

$336-24x-24x=14x-x^{2};$

$x^{2}-62x+336=0;$

$D=(-62)^{2}-4\cdot1\cdot336=$

$=3844-1344=2500;$

$x_{1}=\frac{62-50}{2}=6$, $x_{2}=\frac{62+50}{2}=56$.

Якщо $x=6$, то $y=14-6=8$.

Якщо $x=56$, то $y=14-56=-42$ — не натуральне число, тому цей розв’язок не задовольняє умову задачі.

Перевірка: $6+8=14$; $\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{4}{24}-\frac{3}{24}=\frac{1}{24}$.

Відповідь:

$6$ і $8$.