Завдання № 1 С-6 [12М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 29)

Тема: Квадратна нерівність. Система двох рівнянь з двома змінними. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель прикладної задачі

На малюнку схематично зображено графік функції $y=-x^{2}+4x$. Розв’яжіть нерівність $-x^{2}+4x\leq0$.

А. $(-\infty;0) \cup (4;+\infty)$; Б. $(-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 4;+\infty)$; В. $(0;4)$; Г. $\lbrack 0;4\rbrack$.

Пояснення:

Знайдемо нулі функції $y=-x^{2}+4x$:

$-x^{2}+4x=0;$

$-x(x-4)=0;$

$x=0$ або $x=4$.

Отже, парабола перетинає вісь $x$ у точках $0$ і $4$, а її гілки спрямовані вниз, як і на малюнку.

Нерівність $-x^{2}+4x\leq0$ задовольняють ті значення $x$, за яких графік лежить нижче від осі $x$ або на ній, тобто проміжки ліворуч і праворуч від нулів функції разом із самими нулями (знак нерівності нестрогий). Отже, $x \in (-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 4;+\infty)$.

Перевіряємо запропоновані проміжки:

А. $(-\infty;0) \cup (4;+\infty)$ — ні, не враховано нулі функції $0$ і $4$, а нерівність нестрога;

Б. $(-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 4;+\infty)$ — так;

В. $(0;4)$ — ні, тут графік лежить вище від осі $x$;

Г. $\lbrack 0;4\rbrack$ — ні, на цьому проміжку (крім точок $0$ і $4$) графік лежить вище від осі $x$.

Відповідь:

✅ Б. $(-\infty;0\rbrack \cup \lbrack 4;+\infty)$.