Завдання № 4 С-8 [15М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 36)

Тема: Геометрична прогресія, її властивості. Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії. Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, причому $b_{5}-b_{3}=36$, $b_{2}-b_{4}=18$. Знайдіть $S_{6}$.

Виразимо члени прогресії через $b_{1}$ і $q$ за формулою $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$ та отримаємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b_{1}q^{4}-b_{1}q^{2}=36, \\ b_{1}q-b_{1}q^{3}=18; \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}q^{2}(q^{2}-1)=36, \\-b_{1}q(q^{2}-1)=18. \end{cases}$

Оскільки $b_{1}\neq0$, $q\neq0$ і $q^{2}-1\neq0$ (інакше ліві частини рівнянь дорівнювали б нулю), поділимо перше рівняння на друге:

$\frac{b_{1}q^{2}(q^{2}-1)}{-b_{1}q(q^{2}-1)}=\frac{36}{18};$

$-q=2;$

$q=-2.$

Підставимо $q=-2$ у друге рівняння системи:

$-b_{1}\cdot(-2)\cdot((-2)^{2}-1)=18;$

$-b_{1}\cdot(-2)\cdot3=18;$

$6b_{1}=18;$

$b_{1}=3.$

Знайдемо суму шести перших членів прогресії за формулою $S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$:

$S_{6}=\frac{3\cdot((-2)^{6}-1)}{-2-1}=$

$=\frac{3\cdot(64-1)}{-3}=\frac{3\cdot63}{-3}=-63.$

$S_{6}=-63.$