Завдання № 4 С-8 [15М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 36)

Тема: Геометрична прогресія, її властивості. Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії. Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, причому $b_{4}-b_{2}=-48$, $b_{3}-b_{5}=-144$. Знайдіть $S_{4}$.

Виразимо члени прогресії через $b_{1}$ і $q$ за формулою $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$ та отримаємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b_{1}q^{3}-b_{1}q=-48, \\ b_{1}q^{2}-b_{1}q^{4}=-144; \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}q(q^{2}-1)=-48, \\-b_{1}q^{2}(q^{2}-1)=-144. \end{cases}$

Оскільки $b_{1}\neq0$, $q\neq0$ і $q^{2}-1\neq0$ (інакше ліві частини рівнянь дорівнювали б нулю), поділимо друге рівняння на перше:

$\frac{-b_{1}q^{2}(q^{2}-1)}{b_{1}q(q^{2}-1)}=\frac{-144}{-48};$

$-q=3;$

$q=-3.$

Підставимо $q=-3$ у перше рівняння системи:

$b_{1}\cdot(-3)\cdot((-3)^{2}-1)=-48;$

$b_{1}\cdot(-3)\cdot8=-48;$

$-24b_{1}=-48;$

$b_{1}=2.$

Знайдемо суму чотирьох перших членів прогресії за формулою $S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$:

$S_{4}=\frac{2\cdot((-3)^{4}-1)}{-3-1}=$

$=\frac{2\cdot(81-1)}{-4}=\frac{2\cdot80}{-4}=-40.$

$S_{4}=-40.$