Завдання № 4 С-8 [15М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 37)

Тема: Геометрична прогресія, її властивості. Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії. Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, причому $b_{5}-b_{3}=144$, $b_{2}-b_{4}=48$. Знайдіть $S_{5}$.

Виразимо члени прогресії через $b_{1}$ і $q$ за формулою $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$ та отримаємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b_{1}q^{4}-b_{1}q^{2}=144, \\ b_{1}q-b_{1}q^{3}=48; \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}q^{2}(q^{2}-1)=144, \\-b_{1}q(q^{2}-1)=48. \end{cases}$

Оскільки $b_{1}\neq0$, $q\neq0$ і $q^{2}-1\neq0$ (інакше ліві частини рівнянь дорівнювали б нулю), поділимо перше рівняння на друге:

$\frac{b_{1}q^{2}(q^{2}-1)}{-b_{1}q(q^{2}-1)}=\frac{144}{48};$

$-q=3;$

$q=-3.$

Підставимо $q=-3$ у друге рівняння системи:

$-b_{1}\cdot(-3)\cdot((-3)^{2}-1)=48;$

$-b_{1}\cdot(-3)\cdot8=48;$

$24b_{1}=48;$

$b_{1}=2.$

Знайдемо суму п’яти перших членів прогресії за формулою $S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$:

$S_{5}=\frac{2\cdot((-3)^{5}-1)}{-3-1}=$

$=\frac{2\cdot(-243-1)}{-4}=\frac{2\cdot(-244)}{-4}=122.$

$S_{5}=122.$