Завдання № 4 С-8 [15М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 37)

Тема: Геометрична прогресія, її властивості. Формула суми $n$ перших членів геометричної прогресії. Нескінченна геометрична прогресія та її сума

Послідовність $(b_{n})$ — геометрична прогресія, причому $b_{4}-b_{2}=-18$, $b_{3}-b_{5}=-36$. Знайдіть $S_{4}$.

Виразимо члени прогресії через $b_{1}$ і $q$ за формулою $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$ та отримаємо систему рівнянь:

$\begin{cases} b_{1}q^{3}-b_{1}q=-18, \\ b_{1}q^{2}-b_{1}q^{4}=-36; \end{cases}$

$\begin{cases} b_{1}q(q^{2}-1)=-18, \\-b_{1}q^{2}(q^{2}-1)=-36. \end{cases}$

Оскільки $b_{1}\neq0$, $q\neq0$ і $q^{2}-1\neq0$ (інакше ліві частини рівнянь дорівнювали б нулю), поділимо друге рівняння на перше:

$\frac{-b_{1}q^{2}(q^{2}-1)}{b_{1}q(q^{2}-1)}=\frac{-36}{-18};$

$-q=2;$

$q=-2.$

Підставимо $q=-2$ у перше рівняння системи:

$b_{1}\cdot(-2)\cdot((-2)^{2}-1)=-18;$

$b_{1}\cdot(-2)\cdot3=-18;$

$-6b_{1}=-18;$

$b_{1}=3.$

Знайдемо суму чотирьох перших членів прогресії за формулою $S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$:

$S_{4}=\frac{3\cdot((-2)^{4}-1)}{-2-1}=$

$=\frac{3\cdot(16-1)}{-3}=\frac{3\cdot15}{-3}=-15.$

$S_{4}=-15.$