Завдання № 9 ДР-2 [3М] Варіант 3

Діагностична робота (сторінка 22)

Тема: Вектори на площині

Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(1;5)$, $B(7;7)$, $C(13;5)$ і $D(7;3)$ — ромб.

Розв’язок:

1) Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$:

$\overrightarrow{AB}(7-1;7-5)$, тобто $\overrightarrow{AB}(6;2)$;

$\overrightarrow{DC}(13-7;5-3)$, тобто $\overrightarrow{DC}(6;2)$.

Відповідні координати векторів рівні, тому $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Отже, $AB \parallel DC$ і $AB=DC$, тобто протилежні сторони $AB$ і $DC$ чотирикутника $ABCD$ паралельні й рівні. Тому $ABCD$ — паралелограм.

2) Знайдемо довжини сусідніх сторін $AB$ і $AD$ як модулі векторів $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AD}$:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10};$

$\overrightarrow{AD}(7-1;3-5)$, тобто $\overrightarrow{AD}(6;-2)$;

$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{6^{2}+(-2)^{2}}=$

$=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$

Отже, $AB=AD$ — сусідні сторони паралелограма рівні.

Паралелограм, у якого сусідні сторони рівні, є ромбом. Тому чотирикутник $ABCD$ — ромб.

Що й треба було довести.