Завдання № 9 ДР-2 [3М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 23)

Тема: Вектори на площині

Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $KLMN$ з вершинами в точках $K(5;1)$, $L(7;7)$, $M(5;13)$ і $N(3;7)$ — ромб.

Розв’язок:

1) Знайдемо координати векторів $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{NM}$:

$\overrightarrow{KL}(7-5;7-1)$, тобто $\overrightarrow{KL}(2;6)$;

$\overrightarrow{NM}(5-3;13-7)$, тобто $\overrightarrow{NM}(2;6)$.

Відповідні координати векторів рівні, тому $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}$. Отже, $KL \parallel NM$ і $KL=NM$, тобто протилежні сторони $KL$ і $NM$ чотирикутника $KLMN$ паралельні й рівні. Тому $KLMN$ — паралелограм.

2) Знайдемо довжини сусідніх сторін $KL$ і $KN$ як модулі векторів $\overrightarrow{KL}$ і $\overrightarrow{KN}$:

$|\overrightarrow{KL}|=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10};$

$\overrightarrow{KN}(3-5;7-1)$, тобто $\overrightarrow{KN}(-2;6)$;

$|\overrightarrow{KN}|=\sqrt{(-2)^{2}+6^{2}}=$

$=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$

Отже, $KL=KN$ — сусідні сторони паралелограма рівні.

Паралелограм, у якого сусідні сторони рівні, є ромбом. Тому чотирикутник $KLMN$ — ромб.

Що й треба було довести.