Завдання № 9 ДР-3 [5М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 30)

Тема: Розв’язування трикутників

Дві сторони трикутника дорівнюють $\sqrt{3}$ см і $2$ см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язок:

Нехай $a=\sqrt{3}$ см і $b=2$ см — дані сторони трикутника, $c$ — третя сторона, $\gamma$ — кут між сторонами $a$ і $b$ (він лежить проти сторони $c$), $R$ — радіус описаного кола. За умовою $c=R$.

1) За узагальненою теоремою синусів $\frac{c}{\sin\gamma}=2R$, тому:

$\sin\gamma=\frac{c}{2R}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}.$

Маємо: $\gamma=30^{\circ}$ або $\gamma=150^{\circ}$. Трикутник із двома даними сторонами і будь-яким кутом між ними (від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$) існує, тому можливі обидва випадки.

2) Знайдемо $c$ за теоремою косинусів: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma$.

Якщо $\gamma=30^{\circ}$, то:

$c^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2^{2}-2\cdot\sqrt{3}\cdot2\cdot\cos 30^{\circ}=$

$=3+4-4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=7-6=1;$

$c=1$ (см).

Якщо $\gamma=150^{\circ}$, то $\cos 150^{\circ}=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ і:

$c^{2}=3+4-4\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=$

$=7+6=13;$

$c=\sqrt{13}$ (см).

Отже, задача має два розв’язки.

Відповідь:

$1$ см або $\sqrt{13}$ см; задача має два розв’язки.