Завдання № 9 ДР-3 [5М] Варіант 3

Діагностична робота (сторінка 32)

Тема: Розв’язування трикутників

Дві сторони трикутника дорівнюють $3\sqrt{2}$ см і $1$ см, а радіус кола, описаного навколо трикутника, у $\sqrt{2}$ разів менший від третьої сторони. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язок:

Нехай $a=3\sqrt{2}$ см і $b=1$ см — дані сторони трикутника, $c$ — третя сторона, $\gamma$ — кут між сторонами $a$ і $b$ (він лежить проти сторони $c$), $R$ — радіус описаного кола. За умовою $c=\sqrt{2}R$.

1) За узагальненою теоремою синусів $\frac{c}{\sin\gamma}=2R$, тому:

$\sin\gamma=\frac{c}{2R}=\frac{\sqrt{2}R}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Маємо: $\gamma=45^{\circ}$ або $\gamma=135^{\circ}$. Трикутник із двома даними сторонами і будь-яким кутом між ними (від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$) існує, тому можливі обидва випадки.

2) Знайдемо $c$ за теоремою косинусів: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma$.

Якщо $\gamma=45^{\circ}$, то:

$c^{2}=(3\sqrt{2})^{2}+1^{2}-2\cdot3\sqrt{2}\cdot1\cdot\cos 45^{\circ}=$

$=18+1-6\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=$

$=19-6=13;$

$c=\sqrt{13}$ (см).

Якщо $\gamma=135^{\circ}$, то $\cos 135^{\circ}=-\cos 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ і:

$c^{2}=18+1-6\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=$

$=19+6=25;$

$c=5$ (см).

Отже, задача має два розв’язки.

Відповідь:

$\sqrt{13}$ см або $5$ см; задача має два розв’язки.