Завдання № 9 Комплексна КР з математики Варіант 1

Комплексна контрольна робота за курс 9 класу з математики (інтегрований курс) (сторінка 54)

Доведіть, що нерівність $x^{2}+y^{2}-2(x-2y)+5\geq0$ справджується за будь-яких значень змінних.

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності й виділимо квадрати двочленів:

$x^{2}+y^{2}-2(x-2y)+5=$

$=x^{2}-2x+y^{2}+4y+5=$

$=(x^{2}-2x+1)-1+(y^{2}+4y+4)-4+5=$

$=(x-1)^{2}+(y+2)^{2}.$

Для будь-яких значень $x$ та $y$: $(x-1)^{2}\geq0$ і $(y+2)^{2}\geq0$.

Тому $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}\geq0$.

Отже, $x^{2}+y^{2}-2(x-2y)+5\geq0$ за будь-яких значень змінних.

Що й треба було довести.