Завдання № 9 Комплексна КР Варіант 2

Комплексна контрольна робота за курс 9 класу (сторінка 51)

Дві сторони трикутника дорівнюють $2\sqrt{2}$ см і $2$ см, а відношення третьої сторони до радіуса кола, описаного навколо трикутника, дорівнює $\sqrt{2}\ :1$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ $BC=a=2\sqrt{2}$ см, $AC=b=2$ см, $AB=c$ — третя сторона, $R$ — радіус кола, описаного навколо трикутника.

За умовою $c\ :R=\sqrt{2}\ :1$, тобто $c=R\sqrt{2}$.

За узагальненою теоремою синусів $\frac{c}{\sin C}=2R$, звідки:

$\sin C=\frac{c}{2R}=\frac{R\sqrt{2}}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Маємо: $\angle C=45^{\circ}$ або $\angle C=135^{\circ}$. Кут $C$ лежить між даними сторонами $a$ і $b$, тому трикутник існує в обох випадках. За теоремою косинусів $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$.

1) Нехай $\angle C=45^{\circ}$.

$c^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+2^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot2\cdot\cos 45^{\circ}=$

$=8+4-8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=12-8=4;$

$c=2$ (см).

2) Нехай $\angle C=135^{\circ}$, тоді $\cos 135^{\circ}=\cos(180^{\circ}-45^{\circ})=$

$=-\cos 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

$c^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+2^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=$

$=8+4+8=20;$

$c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (см).

Отже, задача має два розв’язки.

Відповідь:

$2$ см або $2\sqrt{5}$ см; задача має два розв’язки.