Завдання № 9 Комплексна КР Варіант 3

Комплексна контрольна робота за курс 9 класу (сторінка 52)

Дві сторони трикутника дорівнюють $3$ см і $5$ см, а відношення радіуса кола, описаного навколо трикутника, до третьої сторони дорівнює $1\ :\sqrt{3}$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ $BC=a=3$ см, $AC=b=5$ см, $AB=c$ — третя сторона, $R$ — радіус кола, описаного навколо трикутника.

За умовою $R\ :c=1\ :\sqrt{3}$, тобто $c=R\sqrt{3}$.

За узагальненою теоремою синусів $\frac{c}{\sin C}=2R$, звідки:

$\sin C=\frac{c}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Маємо: $\angle C=60^{\circ}$ або $\angle C=120^{\circ}$. Кут $C$ лежить між даними сторонами $a$ і $b$, тому трикутник існує в обох випадках. За теоремою косинусів $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$.

1) Нехай $\angle C=60^{\circ}$.

$c^{2}=3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5\cdot\cos 60^{\circ}=$

$=9+25-30\cdot\frac{1}{2}=34-15=19;$

$c=\sqrt{19}$ (см).

2) Нехай $\angle C=120^{\circ}$, тоді $\cos 120^{\circ}=\cos(180^{\circ}-60^{\circ})=$

$=-\cos 60^{\circ}=-\frac{1}{2}.$

$c^{2}=3^{2}+5^{2}-2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\frac{1}{2} \right)=$

$=9+25+15=49;$

$c=7$ (см).

Отже, задача має два розв’язки.

Відповідь:

$\sqrt{19}$ см або $7$ см; задача має два розв’язки.