Завдання № 10 КР за II семестр Варіант 1

Контрольна робота за II семестр (сторінка 48)

Установіть відповідність між інформацією про правильний многокутник (1–3) і кількістю його сторін (А–Г).

Інформація про правильний многокутник:

1) Внутрішній кут дорівнює $140^{\circ}$;

2) Зовнішній кут дорівнює $60^{\circ}$;

3) Має $20$ діагоналей.

Кількість сторін многокутника:

А. $6$; Б. $7$; В. $8$; Г. $9$.

Пояснення:

Кількість сторін правильного многокутника знайдемо за формулою зовнішнього кута $\beta_{n}=\frac{360^{\circ}}{n}$, звідки $n=\frac{360^{\circ}}{\beta_{n}}$.

1) Якщо внутрішній кут дорівнює $140^{\circ}$, то зовнішній кут:

$\beta_{n}=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ};$

$n=\frac{360^{\circ}}{40^{\circ}}=9$ — це Г.

2) Зовнішній кут дорівнює $60^{\circ}$, тому

$n=\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}}=6$ — це А.

3) З кожної вершини $n$-кутника можна провести $n-3$ діагоналі, і кожну діагональ при цьому враховано двічі, тому $n$-кутник має $\frac{n(n-3)}{2}$ діагоналей. Маємо рівняння:

$\frac{n(n-3)}{2}=20;$

$n^{2}-3n-40=0;$

$n_{1}=8$, $n_{2}=-5$ — не задовольняє умову задачі.

Отже, $n=8$ — це В.

Кількість сторін Б. $7$ — зайва.

Відповідь:

✅ 1 — Г, 2 — А, 3 — В.