Завдання № 4 С-1 [1М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 9)

Тема: Координатна площина. Синус, косинус, тангенс кутів від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Координати середини відрізка. Відстань між двома точками

Доведіть, що чотирикутник $KLMN$ з вершинами в точках $K(-1;-4)$, $L(2;-1)$, $M(-2;3)$, $N(-5;0)$ є прямокутником.

Розв’язок:

Позначимо задані точки на координатній площині та проведемо діагоналі $KM$ і $LN$.

1) Знайдемо координати середин діагоналей за формулами $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$, $y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$.

Середина діагоналі $KM$:

$x_{0}=\frac{-1+(-2)}{2}=-1{,}5$; $y_{0}=\frac{-4+3}{2}=-0{,}5$.

Середина діагоналі $LN$:

$x_{0}=\frac{2+(-5)}{2}=-1{,}5$; $y_{0}=\frac{-1+0}{2}=-0{,}5$.

Середини діагоналей збігаються — це точка $(-1{,}5;-0{,}5)$. Отже, діагоналі чотирикутника $KLMN$ точкою перетину діляться навпіл, а тому $KLMN$ — паралелограм.

2) Знайдемо довжини діагоналей за формулою відстані між двома точками $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

$KM=\sqrt{(-2-(-1))^{2}+(3-(-4))^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2};$

$LN=\sqrt{(-5-2)^{2}+(0-(-1))^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$

Отже, $KM=LN$ — діагоналі паралелограма рівні.

Паралелограм, діагоналі якого рівні, є прямокутником. Тому чотирикутник $KLMN$ — прямокутник.

Що й треба було довести.