: Варіант 1 С-2 [2М]

Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 10)

Тема: Рівняння кола. Рівняння прямої

Складіть рівняння кола із центром на бісектрисі четвертого координатного кута і радіусом $10$, яке проходить через точку $K(2;0)$.

Розв’язок:

Нехай точка $Q$ — центр кола. Точки бісектриси четвертого координатного кута мають додатну абсцису й протилежну до неї ординату, тому $Q(a;-a)$, де $a>0$.

1) Оскільки точка $K$ лежить на колі, то $QK=r=10$, а $QK^{2}=100$. За формулою відстані між двома точками:

$QK^{2}=(2-a)^{2}+(0-(-a))^{2}=$

$=4-4a+a^{2}+a^{2}=2a^{2}-4a+4.$

2) Маємо рівняння:

$2a^{2}-4a+4=100;$

$2a^{2}-4a-96=0;$

$a^{2}-2a-48=0;$

$D=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-48)=196;$

$a_{1}=\frac{2+14}{2}=8$, $a_{2}=\frac{2-14}{2}=-6$.

Умову $a>0$ задовольняє лише $a=8$ (при $a=-6$ точка $(-6;6)$ лежить на бісектрисі другого координатного кута). Отже, $Q(8;-8)$.

Відповідь до завдання № 4 С-2 Варіант 1 Самостійні та діагностичні роботи з Геометрії

3) Складемо рівняння кола із центром $Q(8;-8)$ і радіусом $r=10$:

$(x-8)^{2}+(y-(-8))^{2}=10^{2};$

$(x-8)^{2}+(y+8)^{2}=100.$

Відповідь:

$(x-8)^{2}+(y+8)^{2}=100.$