: Варіант 2 С-2 [2М]

Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 10)

Тема: Рівняння кола. Рівняння прямої

Складіть рівняння кола із центром на бісектрисі другого координатного кута і радіусом $5$, яке проходить через точку $M(0;1)$.

Розв’язок:

Нехай точка $Q$ — центр кола. Точки бісектриси другого координатного кута мають від’ємну абсцису й протилежну до неї ординату, тому $Q(a;-a)$, де $a<0$.

1) Оскільки точка $M$ лежить на колі, то $QM=r=5$, а $QM^{2}=25$. За формулою відстані між двома точками:

$QM^{2}=(0-a)^{2}+(1-(-a))^{2}=$

$=a^{2}+1+2a+a^{2}=2a^{2}+2a+1.$

2) Маємо рівняння:

$2a^{2}+2a+1=25;$

$2a^{2}+2a-24=0;$

$a^{2}+a-12=0;$

$D=1^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=49;$

$a_{1}=\frac{-1+7}{2}=3$, $a_{2}=\frac{-1-7}{2}=-4$.

Умову $a<0$ задовольняє лише $a=-4$ (при $a=3$ точка $(3;-3)$ лежить на бісектрисі четвертого координатного кута). Отже, $Q(-4;4)$.

Відповідь до завдання № 4 С-2 Варіант 2 Самостійні та діагностичні роботи з Геометрії

3) Складемо рівняння кола із центром $Q(-4;4)$ і радіусом $r=5$:

$(x-(-4))^{2}+(y-4)^{2}=5^{2};$

$(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=25.$

Відповідь:

$(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=25.$