: Варіант 3 С-2 [2М]

Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Рівняння кола. Рівняння прямої

Складіть рівняння кола із центром на бісектрисі четвертого координатного кута і радіусом $5$, яке проходить через точку $N(-1;0)$.

Розв’язок:

Нехай точка $Q$ — центр кола. Точки бісектриси четвертого координатного кута мають додатну абсцису й протилежну до неї ординату, тому $Q(a;-a)$, де $a>0$.

1) Оскільки точка $N$ лежить на колі, то $QN=r=5$, а $QN^{2}=25$. За формулою відстані між двома точками:

$QN^{2}=(-1-a)^{2}+(0-(-a))^{2}=$

$=1+2a+a^{2}+a^{2}=2a^{2}+2a+1.$

2) Маємо рівняння:

$2a^{2}+2a+1=25;$

$2a^{2}+2a-24=0;$

$a^{2}+a-12=0;$

$D=1^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=49;$

$a_{1}=\frac{-1+7}{2}=3$, $a_{2}=\frac{-1-7}{2}=-4$.

Умову $a>0$ задовольняє лише $a=3$ (при $a=-4$ точка $(-4;4)$ лежить на бісектрисі другого координатного кута). Отже, $Q(3;-3)$.

Відповідь до завдання № 4 С-2 Варіант 3 Самостійні та діагностичні роботи з Геометрії

3) Складемо рівняння кола із центром $Q(3;-3)$ і радіусом $r=5$:

$(x-3)^{2}+(y-(-3))^{2}=5^{2};$

$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=25.$

Відповідь:

$(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=25.$