: Варіант 4 С-2 [2М]

Завдання № 4 С-2 [2М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 11)

Тема: Рівняння кола. Рівняння прямої

Складіть рівняння кола із центром на бісектрисі другого координатного кута і радіусом $10$, яке проходить через точку $L(0;-2)$.

Розв’язок:

Нехай точка $Q$ — центр кола. Точки бісектриси другого координатного кута мають від’ємну абсцису й протилежну до неї ординату, тому $Q(a;-a)$, де $a<0$.

1) Оскільки точка $L$ лежить на колі, то $QL=r=10$, а $QL^{2}=100$. За формулою відстані між двома точками:

$QL^{2}=(0-a)^{2}+(-2-(-a))^{2}=$

$=a^{2}+4-4a+a^{2}=2a^{2}-4a+4.$

2) Маємо рівняння:

$2a^{2}-4a+4=100;$

$2a^{2}-4a-96=0;$

$a^{2}-2a-48=0;$

$D=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-48)=196;$

$a_{1}=\frac{2+14}{2}=8$, $a_{2}=\frac{2-14}{2}=-6$.

Умову $a<0$ задовольняє лише $a=-6$ (при $a=8$ точка $(8;-8)$ лежить на бісектрисі четвертого координатного кута). Отже, $Q(-6;6)$.

Відповідь до завдання № 4 С-2 Варіант 4 Самостійні та діагностичні роботи з Геометрії

3) Складемо рівняння кола із центром $Q(-6;6)$ і радіусом $r=10$:

$(x-(-6))^{2}+(y-6)^{2}=10^{2};$

$(x+6)^{2}+(y-6)^{2}=100.$

Відповідь:

$(x+6)^{2}+(y-6)^{2}=100.$