Завдання № 4 С-3 [6М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 16)

Тема: Вектор. Модуль і напрямок вектора. Рівність векторів. Координати вектора. Додавання та віднімання векторів

Модуль вектора $\overrightarrow{a}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{13}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{a}$, якщо координата $x$ цього вектора на 1 менша від координати $y$.

Розв’язок:

За умовою $y=x+1$, тому $\overrightarrow{a}(x;x+1)$.

Модуль вектора з координатами $(x;y)$ дорівнює $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, тому:

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+(x+1)^{2}}.$

За умовою $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{13}$, отже:

$\sqrt{x^{2}+(x+1)^{2}}=\sqrt{13};$

$x^{2}+(x+1)^{2}=13;$

$x^{2}+x^{2}+2x+1=13;$

$2x^{2}+2x-12=0;$

$x^{2}+x-6=0.$

Розв’яжемо квадратне рівняння:

$D=1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=25;$

$x_{1}=\frac{-1+5}{2}=2$; $x_{2}=\frac{-1-5}{2}=-3$.

Знайдемо відповідні значення $y$:

$y_{1}=2+1=3$; $y_{2}=-3+1=-2$.

Отже, умову задовольняють два вектори: $\overrightarrow{a}(2;3)$ і $\overrightarrow{a}(-3;-2)$.

На малюнку обидва вектори відкладено від початку координат: їхні кінці лежать на колі радіуса $\sqrt{13}$ і на прямій $y=x+1$.

Відповідь:

$\overrightarrow{a}(2;3)$ або $\overrightarrow{a}(-3;-2)$.