Завдання № 4 С-3 [6М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 16)

Тема: Вектор. Модуль і напрямок вектора. Рівність векторів. Координати вектора. Додавання та віднімання векторів

Модуль вектора $\overrightarrow{b}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{17}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{b}$, якщо координата $x$ цього вектора на 3 більша за координату $y$.

Розв’язок:

За умовою $x=y+3$, тому $\overrightarrow{b}(y+3;y)$.

Модуль вектора з координатами $(x;y)$ дорівнює $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, тому:

$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(y+3)^{2}+y^{2}}.$

За умовою $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{17}$, отже:

$\sqrt{(y+3)^{2}+y^{2}}=\sqrt{17};$

$(y+3)^{2}+y^{2}=17;$

$y^{2}+6y+9+y^{2}=17;$

$2y^{2}+6y-8=0;$

$y^{2}+3y-4=0.$

Розв’яжемо квадратне рівняння:

$D=3^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=25;$

$y_{1}=\frac{-3+5}{2}=1$; $y_{2}=\frac{-3-5}{2}=-4$.

Знайдемо відповідні значення $x$:

$x_{1}=1+3=4$; $x_{2}=-4+3=-1$.

Отже, умову задовольняють два вектори: $\overrightarrow{b}(4;1)$ і $\overrightarrow{b}(-1;-4)$.

На малюнку обидва вектори відкладено від початку координат: їхні кінці лежать на колі радіуса $\sqrt{17}$ і на прямій $y=x-3$.

Відповідь:

$\overrightarrow{b}(4;1)$ або $\overrightarrow{b}(-1;-4)$.