Завдання № 4 С-3 [6М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 17)

Тема: Вектор. Модуль і напрямок вектора. Рівність векторів. Координати вектора. Додавання та віднімання векторів

Модуль вектора $\overrightarrow{c}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{10}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{c}$, якщо координата $y$ цього вектора на 2 більша за координату $x$.

Розв’язок:

За умовою $y=x+2$, тому $\overrightarrow{c}(x;x+2)$.

Модуль вектора з координатами $(x;y)$ дорівнює $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, тому:

$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{x^{2}+(x+2)^{2}}.$

За умовою $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$, отже:

$\sqrt{x^{2}+(x+2)^{2}}=\sqrt{10};$

$x^{2}+(x+2)^{2}=10;$

$x^{2}+x^{2}+4x+4=10;$

$2x^{2}+4x-6=0;$

$x^{2}+2x-3=0.$

Розв’яжемо квадратне рівняння:

$D=2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=16;$

$x_{1}=\frac{-2+4}{2}=1$; $x_{2}=\frac{-2-4}{2}=-3$.

Знайдемо відповідні значення $y$:

$y_{1}=1+2=3$; $y_{2}=-3+2=-1$.

Отже, умову задовольняють два вектори: $\overrightarrow{c}(1;3)$ і $\overrightarrow{c}(-3;-1)$.

На малюнку обидва вектори відкладено від початку координат: їхні кінці лежать на колі радіуса $\sqrt{10}$ і на прямій $y=x+2$.

Відповідь:

$\overrightarrow{c}(1;3)$ або $\overrightarrow{c}(-3;-1)$.