Завдання № 4 С-3 [6М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 17)

Тема: Вектор. Модуль і напрямок вектора. Рівність векторів. Координати вектора. Додавання та віднімання векторів

Модуль вектора $\overrightarrow{m}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{13}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{m}$, якщо координата $y$ цього вектора на 1 менша від координати $x$.

Розв’язок:

За умовою $y=x-1$, тому $\overrightarrow{m}(x;x-1)$.

Модуль вектора з координатами $(x;y)$ дорівнює $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, тому:

$|\overrightarrow{m}|=\sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}}.$

За умовою $|\overrightarrow{m}|=\sqrt{13}$, отже:

$\sqrt{x^{2}+(x-1)^{2}}=\sqrt{13};$

$x^{2}+(x-1)^{2}=13;$

$x^{2}+x^{2}-2x+1=13;$

$2x^{2}-2x-12=0;$

$x^{2}-x-6=0.$

Розв’яжемо квадратне рівняння:

$D=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=25;$

$x_{1}=\frac{1+5}{2}=3$; $x_{2}=\frac{1-5}{2}=-2$.

Знайдемо відповідні значення $y$:

$y_{1}=3-1=2$; $y_{2}=-2-1=-3$.

Отже, умову задовольняють два вектори: $\overrightarrow{m}(3;2)$ і $\overrightarrow{m}(-2;-3)$.

На малюнку обидва вектори відкладено від початку координат: їхні кінці лежать на колі радіуса $\sqrt{13}$ і на прямій $y=x-1$.

Відповідь:

$\overrightarrow{m}(3;2)$ або $\overrightarrow{m}(-2;-3)$.