Завдання № 4 С-5 [10М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 25)

Тема: Теорема косинусів. Теорема синусів

Дві сторони трикутника $10$ см і $3$ см, а синус кута між ними дорівнює $0{,}6$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ $BC=a=10$ см, $AC=b=3$ см, $\angle C$ — кут між ними, $\sin C=0{,}6$. Знайдемо $AB=c$.

З основної тригонометричної тотожності $\sin^{2}C+\cos^{2}C=1$ маємо:

$\cos^{2}C=1-\sin^{2}C=$

$=1-{0{,}6}^{2}=1-0{,}36=0{,}64;$

$\cos C=0{,}8$ або $\cos C=-0{,}8$.

Кут $C$ може бути гострим ($\cos C>0$) або тупим ($\cos C<0$), тому розглянемо два випадки. За теоремою косинусів $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$.

1) Нехай $\angle C$ — гострий, $\cos C=0{,}8$.

$c^{2}=10^{2}+3^{2}-2\cdot10\cdot3\cdot0{,}8=$

$=100+9-48=61;$

$c=\sqrt{61}$ (см).

2) Нехай $\angle C$ — тупий, $\cos C=-0{,}8$.

$c^{2}=10^{2}+3^{2}-2\cdot10\cdot3\cdot(-0{,}8)=$

$=100+9+48=157;$

$c=\sqrt{157}$ (см).

Отже, задача має два розв’язки.

Відповідь:

$\sqrt{61}$ см або $\sqrt{157}$ см; задача має два розв’язки.