Завдання № 4 С-5 [10М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 25)

Тема: Теорема косинусів. Теорема синусів

Дві сторони трикутника $5$ см і $4$ см, а синус кута між ними дорівнює $0{,}8$. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

Розв’язок:

Нехай у трикутнику $ABC$ $BC=a=5$ см, $AC=b=4$ см, $\angle C$ — кут між ними, $\sin C=0{,}8$. Знайдемо $AB=c$.

З основної тригонометричної тотожності $\sin^{2}C+\cos^{2}C=1$ маємо:

$\cos^{2}C=1-\sin^{2}C=$

$=1-{0{,}8}^{2}=1-0{,}64=0{,}36;$

$\cos C=0{,}6$ або $\cos C=-0{,}6$.

Кут $C$ може бути гострим ($\cos C>0$) або тупим ($\cos C<0$), тому розглянемо два випадки. За теоремою косинусів $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$.

1) Нехай $\angle C$ — гострий, $\cos C=0{,}6$.

$c^{2}=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cdot0{,}6=$

$=25+16-24=17;$

$c=\sqrt{17}$ (см).

2) Нехай $\angle C$ — тупий, $\cos C=-0{,}6$.

$c^{2}=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cdot(-0{,}6)=$

$=25+16+24=65;$

$c=\sqrt{65}$ (см).

Отже, задача має два розв’язки.

Відповідь:

$\sqrt{17}$ см або $\sqrt{65}$ см; задача має два розв’язки.