Завдання № 4 С-6 [11М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 28)

Тема: Розв’язування трикутників. Формули для знаходження площі трикутника

На сторонах $OC$ та $OD$ кута $O$ відкладено відрізки $OB=2$ см, $BC=3$ см, $OA=3$ см, $AD=5$ см. Знайдіть відношення площі трикутника $OAB$ до площі чотирикутника $ABCD$.

Розв’язок:

Нехай $\angle O=\alpha$.

Знайдемо довжини відрізків $OC$ і $OD$:

$OC=OB+BC=2+3=5$ (см);

$OD=OA+AD=3+5=8$ (см).

Площі трикутників знайдемо за формулою $S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S_{\bigtriangleup OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\alpha=$

$=\frac{1}{2}\cdot3\cdot2\cdot\sin\alpha=3\sin\alpha;$

$S_{\bigtriangleup OCD}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\cdot\sin\alpha=$

$=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin\alpha=20\sin\alpha.$

Площа чотирикутника $ABCD$ дорівнює різниці площ трикутників $OCD$ і $OAB$:

$S_{ABCD}=S_{\bigtriangleup OCD}-S_{\bigtriangleup OAB}=$

$=20\sin\alpha-3\sin\alpha=17\sin\alpha.$

Шукане відношення:

$\frac{S_{\bigtriangleup OAB}}{S_{ABCD}}=\frac{3\sin\alpha}{17\sin\alpha}=\frac{3}{17}.$

Відповідь:

$\frac{3}{17}.$