Завдання № 4 С-6 [11М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 28)

Тема: Розв’язування трикутників. Формули для знаходження площі трикутника

На сторонах $OA$ та $OB$ кута $O$ відкладено відрізки $OC=3$ см, $CA=2$ см, $OD=4$ см, $DB=4$ см. Знайдіть відношення площі чотирикутника $ABDC$ до площі трикутника $OAB$.

Розв’язок:

Нехай $\angle O=\alpha$.

Знайдемо довжини відрізків $OA$ і $OB$:

$OA=OC+CA=3+2=5$ (см);

$OB=OD+DB=4+4=8$ (см).

Площі трикутників знайдемо за формулою $S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S_{\bigtriangleup OCD}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\cdot\sin\alpha=$

$=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\sin\alpha=6\sin\alpha;$

$S_{\bigtriangleup OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\alpha=$

$=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin\alpha=20\sin\alpha.$

Площа чотирикутника $ABDC$ дорівнює різниці площ трикутників $OAB$ і $OCD$:

$S_{ABDC}=S_{\bigtriangleup OAB}-S_{\bigtriangleup OCD}=$

$=20\sin\alpha-6\sin\alpha=14\sin\alpha.$

Шукане відношення:

$\frac{S_{ABDC}}{S_{\bigtriangleup OAB}}=\frac{14\sin\alpha}{20\sin\alpha}=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}.$

Відповідь:

$\frac{7}{10}.$