Завдання № 4 С-7 [13М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 34)

Тема: Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює $4\sqrt{3}$ см, а радіус кола, вписаного в нього, — $6$ см. Знайдіть кількість сторін многокутника та довжину його сторони.

Розв’язок:

Нехай $n$ — кількість сторін многокутника, $R=4\sqrt{3}$ см — радіус описаного кола, $r=6$ см — радіус вписаного кола.

1) Радіуси вписаного й описаного кіл правильного $n$-кутника пов’язані формулою $r=R\cos\frac{180^{\circ}}{n}$. Тоді:

$\cos\frac{180^{\circ}}{n}=\frac{r}{R}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=$

$=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Кут $\frac{180^{\circ}}{n}$ гострий і $\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, тому:

$\frac{180^{\circ}}{n}=30^{\circ};$

$n=6.$

Отже, многокутник — правильний шестикутник.

2) Сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу описаного кола: $a_{6}=R$. Тому:

$a_{6}=4\sqrt{3}$ (см).

Відповідь:

$n=6$, $a_{6}=4\sqrt{3}$ см.