Завдання № 4 С-7 [13М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 34)

Тема: Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює $4\sqrt{3}$ см, а радіус кола, описаного навколо нього, — $8\sqrt{3}$ см. Знайдіть кількість сторін многокутника та довжину його сторони.

Розв’язок:

Нехай $n$ — кількість сторін многокутника, $r=4\sqrt{3}$ см — радіус вписаного кола, $R=8\sqrt{3}$ см — радіус описаного кола.

1) Радіуси вписаного й описаного кіл правильного $n$-кутника пов’язані формулою $r=R\cos\frac{180^{\circ}}{n}$. Тоді:

$\cos\frac{180^{\circ}}{n}=\frac{r}{R}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}.$

Кут $\frac{180^{\circ}}{n}$ гострий і $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, тому:

$\frac{180^{\circ}}{n}=60^{\circ};$

$n=3.$

Отже, многокутник — правильний трикутник.

2) Сторону правильного трикутника виражаємо через радіус описаного кола: $a_{3}=R\sqrt{3}$. Тому:

$a_{3}=8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=24$ (см).

Відповідь:

$n=3$, $a_{3}=24$ см.