Завдання № 4 С-9 [17М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 42)

Тема: Паралельне перенесення. Подібність фігур. Площі подібних фігур

Висота трикутника $ABC$, що виходить з вершини $A$, дорівнює $4\sqrt{2}$ см. На якій відстані від точки $A$ треба провести пряму, паралельну $BC$, щоб ця пряма поділила трикутник на дві рівновеликі частини?

Розв’язок:

Нехай пряма, паралельна $BC$, перетинає сторони $AB$ і $AC$ у точках $M$ і $N$, а висоту $AH$ — у точці $K$. Оскільки $MN \parallel BC$ і $AH \perp BC$, то $AK \perp MN$. Отже, $AK$ — висота трикутника $AMN$ і шукана відстань від точки $A$ до прямої $MN$.

1) $\bigtriangleup AMN \sim \bigtriangleup ABC$ за двома кутами: $\angle A$ — спільний, $\angle AMN=\angle ABC$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $BC$ та січній $AB$.

2) Пряма $MN$ ділить трикутник $ABC$ на трикутник $AMN$ і трапецію $MBCN$, площі яких рівні. Тому $S_{AMN}=\frac{1}{2}S_{ABC}$, тобто:

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}.$

3) Площі подібних многокутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Висоти $AK$ і $AH$ подібних трикутників $AMN$ і $ABC$ — відповідні лінійні розміри, тому:

$\left( \frac{AK}{AH} \right)^{2}=\frac{1}{2}$, звідки $\frac{AK}{AH}=\frac{1}{\sqrt{2}}$;

$AK=\frac{AH}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$ (см).

Відповідь:

$4$ см.