Завдання № 4 С-9 [17М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 42)

Тема: Паралельне перенесення. Подібність фігур. Площі подібних фігур

Пряма, паралельна стороні $AC$ трикутника $ABC$, ділить його на дві рівновеликі фігури. Знайдіть відрізок цієї прямої, що міститься між сторонами $AB$ і $BC$ трикутника, якщо $AC=6\sqrt{2}$.

Розв’язок:

Нехай пряма, паралельна $AC$, перетинає сторони $AB$ і $BC$ у точках $M$ і $N$ відповідно. Знайдемо $MN$.

1) $\bigtriangleup MBN \sim \bigtriangleup ABC$ за двома кутами: $\angle B$ — спільний, $\angle BMN=\angle BAC$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $AC$ та січній $AB$.

2) Пряма $MN$ ділить трикутник $ABC$ на трикутник $MBN$ і трапецію $AMNC$, площі яких рівні. Тому $S_{MBN}=\frac{1}{2}S_{ABC}$, тобто:

$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}.$

3) Площі подібних многокутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Сторони $MN$ і $AC$ подібних трикутників $MBN$ і $ABC$ — відповідні, тому:

$\left( \frac{MN}{AC} \right)^{2}=\frac{1}{2}$, звідки $\frac{MN}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$;

$MN=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6.$

Відповідь:

$MN=6.$