Завдання № 4 С-9 [17М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 43)

Тема: Паралельне перенесення. Подібність фігур. Площі подібних фігур

Пряма, паралельна стороні $BC$ трикутника $ABC$, ділить його на дві рівновеликі фігури. Знайдіть відрізок цієї прямої, що міститься між сторонами $AB$ та $AC$ трикутника, якщо $BC=8\sqrt{2}$.

Розв’язок:

Нехай пряма, паралельна $BC$, перетинає сторони $AB$ і $AC$ у точках $M$ і $N$ відповідно. Знайдемо $MN$.

1) $\bigtriangleup AMN \sim \bigtriangleup ABC$ за двома кутами: $\angle A$ — спільний, $\angle AMN=\angle ABC$ як відповідні кути при паралельних прямих $MN$ і $BC$ та січній $AB$.

2) Пряма $MN$ ділить трикутник $ABC$ на трикутник $AMN$ і трапецію $MBCN$, площі яких рівні. Тому $S_{AMN}=\frac{1}{2}S_{ABC}$, тобто:

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}.$

3) Площі подібних многокутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Сторони $MN$ і $BC$ подібних трикутників $AMN$ і $ABC$ — відповідні, тому:

$\left( \frac{MN}{BC} \right)^{2}=\frac{1}{2}$, звідки $\frac{MN}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$;

$MN=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8.$

Відповідь:

$MN=8.$